連続座標ランダムウォークのサンプルパスの推定(pt031-)

情報

• 出題:2021-06-17
• 実行/提出期限:0000-00-00 00:00:00
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  • なし 提出不要

課題

状況の説明

時刻離散, 座標連続のランダムウォークを考える. 時刻\(t\)の座標 \(X(t)\)は, \(X(t)=X(t-1)+R(t)\)で定まる.

時刻\(t=0\)に, 位置\(x=110\)から出発する.

\(R(t)\)は独立同分布\(U(-5,5)\)にしたがう連続型確率変数である.

次の2つの量を推定したい.

• \(0\leq t \leq \text{最終時刻}T\)の\(X(t)\)の最大値が120より大きい確率(母比率)
• 「「\(0\leq t \leq \text{最終時刻}T\)で, \(X(t)\)が最大値をとるt」のうち最小のもの(\(=\phi_3\))」の母期待値

課題のタスク

1. 下の仕様に従った確率シミュレーションのプログラムを作ろう.
2. 出力されるCSVファイルを, 配布の Rmd を使って解析しよう

プログラムの入力

この順で1行に1個ずつ

• 乱数のシードd(0以上の整数)
• ランダムウォークの長さ(最終時刻)T(0以上の整数)
• 標本サイズN(2以上の整数)

プログラムの入力例

XYZ 自分で決めるシード
		    30
		    1000

プログラムの出力

• 1行目に#d=に続いて シード
• 2行目に#T=に続いて ランダムウォークの長さ(最終時刻)
• 3行目に#N=に続いて 標本のサイズ
• 3行目に0,1,2,…T,phi2,phi3
• 以下, コンマで区切って, 時刻\(t=0,1,2,\ldots,T\)の座標\(X(t)\)と, 母比率の条件が成立するなら\(\phi_2=1\), しないなら0, \(\phi_3\)の値. これをN行.

プログラムの出力例

# d=XYZ シード
# T=30
# N=300
0,略,30,phi2,phi3
110.000,略,113.000,1,3    
…後略

自分でチェック!

1行の中のX(0)からX(T)を見ると, phi2,phi3の値が正しいかどうかは手動で判定できるでしょう.

アドバイス

日本語で書かれた, 数理モデルとしての定式化以前の日本語の記述は以下.

B湖の水位の毎日の増減(cm) は, \(-5\)cmと\(5\)cmの間で「完全にランダム」, 1日1日の変化分は無関係. 初日(0日)には, 水位は110cmだった.

• 30日までに, この期間の最高水位が120cmより高くなることはどのくらい起きるか?
• 30日までに, 最高水位となるのはだいたい何日目か?